Budowanie analogii między analogiami i korespondencji między pojęciami z odległych od siebie dziedzin to zajęcie par excellence dla matematyków. To świat, w którym algebraik porozumie się z topologiem, a łucznik i żeglarz będą mówili wspólnym językiem.
Dwie gałęzie jednego drzewa
Studenci pierwszych lat studiów matematycznych wiedzą, że wśród poważnych przedmiotów są dwa, niezwiązane ze sobą, a jedne z fundamentalnych: algebra i topologia.
Ta pierwsza zajmuje się zbiorami (nie tylko liczbowymi) i działaniami (nie tylko arytmetycznymi) na tychże zbiorach. Rozwiązywanie równań algebraicznych, ich całych układów i opisywanie własności obiektów to domena algebry. Algebra szuka wzorów i reguł, które kryją się za rachunkiem, równaniami i przekształceniami. Matematycy tworzą w niej abstrakcyjne języki opisujące zależności między elementami, które działają nie tylko dla liczb, ale też na przykład dla macierzy, funkcji czy symetrii figur.
Topologia bada obiekty w przestrzeni poddane rozciąganiom, kompresji i innym deformacjom, lecz z wyłączeniem rozcinań, przerywań i sklejeń. Obrazowo rzecz ujmując, dla topologa wszystko jest z gumy, a „takie same” są obiekty, które można przekształcić jedne na drugie z pomocą wymienionych operacji. W takim sensie kulisty pączek to taki sam obiekt jak talerz, ale zupełnie inny, niż amerykański donut; pączek z dziurką jest za to tożsamy z kubkiem (!).
Algebra i topologia na pierwszy rzut oka wydają się bardzo odległe. A jednak – jak pokazują badacze z Uniwersytetu Warszawskiego – jest coś, co, nomen omen, splata wątki z obu tych gałęzi w jedno.
Węzeł i strzała – co mają wspólnego?
Jedną z poddziedzin współczesnej algebry jest teoria reprezentacji. Przedstawia ona abstrakcyjne struktury algebraiczne jako przekształcenia przestrzeni wektorowych. W ramach tej teorii naukowcy przyglądają się grafom – zbiorom połączonych ze sobą strzałkami punktów, które literacko nazwali kołczanami.
Część topologów natomiast bada własności węzłów, splotów i supłów. Węzły to, jak podpowiada intuicja z życia codziennego, bardziej lub mniej splątane krzywe z połączonymi końcami, jak np. sznurówki butów.
Na pierwszy rzut oka te dwa światy – sieci strzałek i sploty nici – nie mają ze sobą nic wspólnego. To co je łączy, to zainteresowanie matematyków.
Zarówno kołczany jak i węzły są intensywnie badane przez matematyków na całym świecie, ale analogię między tymi obiektami zauważyli naukowcy z UW, dr hab. Piotr Kucharski i prof. Piotr Sułkowski, we współpracy z prof. Markusem Reineke z Bochum oraz prof. Marko Stošiciem z Lizbony. Zainspirowali się oni podejściem z zaawansowanej fizyki – teorią strun. Dostrzegli, że węzły i kołczany pozwalają w równoważny sposób opisać to samego zjawisko i sformułowali tzw. korespondencję węzeł-kołczan.
– Teoria węzłów i teoria reprezentacji kołczanów rozwijały się od lat całkowicie niezależnie i nikt nie spodziewał się, że są jakkolwiek związane. Jednakże, dzięki zastosowaniu podejścia opartego na teorii strun, udało nam się zauważyć, że modele fizyczne, które można przypisać do węzłów i kołczanów, są praktycznie takie same. Dzięki temu wyniki prac dotyczących kołczanów można wykorzystywać w badaniach nad węzłami (i na odwrót) – wyjaśnia dr hab. Piotr Kucharski z Wydziału Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW.
Czym jest teoria strun? Zakłada ona, że najmniejsze elementy świata (np. elektrony, kwarki, fotony) nie są punktami, lecz maleńkimi strunami. W zależności od tego, jak drgają, mogą tworzyć różne cząstki i oddziaływania. W praktyce pozwala to patrzeć na materię, przestrzeń i siły, jak na różne przejawy tej samej, głębszej struktury. Idea, że różne obiekty mogą być „odmianą” jednego modelu, pozwoliła połączyć węzły i kołczany.
Okazało się, na przykład, że liczba pętli w kołczanie odpowiada stopniowi „splątania” węzła – im bardziej złożona sieć strzałek, tym bardziej zawiły splot. Kolejne analogie są coraz bardziej abstrakcyjne, ale zachowują zgodność w znalezionych parach węzeł-kołczan.
To niezwykle rzadki przypadek, gdy analogia między dwiema dziedzinami matematyki okazuje się niemal doskonała.
Mapa z posklejanych precli
Obserwacja, że zarówno węzły jak i kołczany obrazują te same modele fizyczne to nie jedyna inspiracja zaczerpnięta z nauk fizycznych. To początek. Jeśli strzałki w teorii reprezentacji kołczanów przedstawiają pewne przekształcenie, to kołczan jest zbiorem przekształceń. Naukowcy z UW poszli więc krok dalej i spróbowali opisać nie tylko pojedynczy kołczan, lecz możliwe sposoby jego przekształcania.
W języku matematyki oznacza to stworzenie „mapy” całego zbioru przekształceń.
– Wymagający wyobraźni krok polega na tym, że rozważamy mapę wszystkich możliwych transformacji związanych z danym kołczanem. Okazuje się, że taka mapa rzadko wygląda jak papierowa mapa, której używaliśmy przed smartfonami – najczęściej ma skomplikowany kształt przypominający posklejane precle. Modele fizyczne, których używamy, pozwalają opisać ten kształt – tłumaczy Piotr Kucharski.
Taka „mapa” to matematyczny krajobraz wszystkich stanów, w jakie może się przekształcić dany układ. Pofałdowana wielowymiarowa struktura pełna „dziur” i połączeń – stąd porównanie do posklejanych precli. Modele inspirowane fizyką pozwalają ten niezwykle złożony kształt nie tylko wyobrazić sobie, ale też opisać i policzyć.
Od abstrakcji do życia
Dziś odkrycie naukowców z UW wydaje się czystą teorią. A pytanie o zastosowanie interdyscyplinarnego mariażu algebry i topologii – przedwczesne; to tak, jakby pytać Einsteina o znaczenie ogólnej teorii względności dla przeciętnego Kowalskiego i oczekiwać, że opowie nam, pół wieku przed wynalezieniem, o systemie GPS, którego dziś używa każdy i to codziennie.
Historia nauki pokazuje jednak, że właśnie z takich idei często rodzą się przełomy.
Wśród możliwych zastosowań korespondencji węzeł-kołczan widać wyraźnie postęp w badaniach nad strukturą DNA, która to struktura przypomina ciasno upakowaną splątaną sznurówkę lub też lepsze zrozumienie funkcji, jaką pełni kształt cząsteczek białek. A to wszystko oznacza potencjalnie wielki postęp w medycynie i farmakologii, przede wszystkim w projektowaniu nowych leków, zwłaszcza antybiotyków i terapii przeciwnowotworowych.
